圆柱和圆锥是怎样形成的(圆柱与圆锥公式)

圆柱和圆锥是怎样形成的

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分析 他们都是旋转体。如果以长方形的长（或宽）为旋转轴旋转一周（360°）则得到圆柱。

如果以直角三角形的的一条直角边为旋转轴（这时另一条直角边为底面半径）旋转一周（360°）则得到圆锥。

圆柱与圆锥公式

圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

圆柱和圆锥之间的关系

如果是等底等高，则圆柱的体积是圆锥体积的三倍，反之，圆锥体积是圆柱体积的三分之一；如果高相等，体积相等，则圆锥底面积是圆柱底面积的三倍，反之，圆柱底面积是圆锥底面积的三分之一；如果底面积相等，体积相等，则圆锥的高是圆柱的高的三倍，反之，圆柱的高是圆锥的高的三分之一。

当圆柱的轴与圆柱的底面垂直时，称该圆柱为直圆柱；当圆柱的轴与圆柱底面不垂直时，称该圆柱为斜圆柱。

圆锥与圆柱的相同点和不同点

圆柱与圆锥公式如下：

圆柱的体积公式为：V圆柱=πR2×h。其中，R为底部圆的半径，h为圆柱体的高。

圆锥的体积公式为：V锥=1/3πR2×h。其中，R为底部圆的半径，h为圆锥体的高。

圆柱的特征：圆柱是由1个侧面和2个底面组成的。2个底面是完全相同的圆，侧面是个曲面，（展开后是一个长方形），两个底面之间的距离叫做圆柱的高，有无数条。

圆锥的特征：圆锥由1个顶点，1个侧面，1个底面组成。从圆锥顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，只有1条。

圆柱的侧面展开后得到一个什么图形？这个图形的各部分与圆柱有何关系？（圆柱侧面积公式的推导过程）

（1）圆柱的侧面沿高展开后一般得到一个长方形。

（2）长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽 相当于圆柱的高。

（3）因为：长方形面积= 长×宽，所以：圆柱侧面积=底面周长×高。

（4）圆柱的侧面沿高展开后还可能得到一个正方形。

正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高

圆柱侧面积＝底面周长×高

s=ch=πdh=2πrh

圆柱表面积＝侧面积＋底面积×2

s＝2πrh++2πr

等底等高的圆锥体和圆柱体有什么关系呢？

圆锥与圆柱的相同点和不同点，具体如下：

相同点：

1、圆锥和圆柱都是由曲面和两个平面底面组成的立体几何体。圆锥和圆柱都具有可视化的特点，即可以在不同角度下被观察和理解。圆锥和圆柱的形状相对简单，易于想象和绘制。

2、圆锥和圆柱的底面都是圆形的，具有相同的形状和特征。在底面形状、面积计算、旋转体、轴线和对称性等方面存在相似性。

3、圆锥和圆柱都具有旋转对称性，可以通过绕轴旋转来生成整个立体。无论是圆锥还是圆柱，只要围绕着轴线进行旋转，其形状和特征都不会改变。

不同点：

1、形状：圆锥的曲面收束成一个尖顶，而圆柱的曲面保持平行，形成一个闭合的圆筒形状。

2、侧面结构：圆锥的侧面是由底面上的点向尖顶延伸而形成的直线，而圆柱的侧面是由底面上的点向另一个底面相应位置延伸而形成的垂直于底面的直线。

3、体积计算：圆锥的体积公式为V=（1/3）πr?h，其中r是底面半径，h是锥的高度；而圆柱的体积公式为V=πr?h，其中r是底面半径，h是圆柱的高度。

4、表面积计算：圆锥的表面积包括底面积和侧面积，公式为S=πr（r+l），其中r是底面半径，l是斜高(也称母线)；而圆柱的表面积包括底面积和侧面积，公式为S=2πrh+2πr?，其中r是底面半径，h是圆柱的高度。

以下是圆锥和圆柱的一些重要几何学原理

对于圆锥：

1、直角锥：如果一个圆锥的底面是一个直径为d的圆，而锥顶与底面圆的中心在同一条垂直于底面的直线上，那么这个圆锥就是一个直角锥。直角锥的侧面形成一个直角。

2、完全相似性：对于两个相似的圆锥，相似的比例因子等于底面半径之比，也等于高度之比。如果两个圆锥相似，则两个圆锥的形状和结构相似，但大小可能不同。

3、母线与封闭曲面：圆锥的母线是连接锥顶和底面上的点的线段。圆锥的封闭曲面由母线和底面上的圆弧组成，其中母线延伸到锥顶。

对于圆柱：

1、完全相似性：对于两个相似的圆柱，相似的比例因子等于底面半径之比，也等于高度之比。如果将一个圆柱的底面半径放大或缩小到另一个圆柱的底面半径的倍数，那高度也会以相同的倍数放大或缩小。

2、半径与母线：圆柱的底面和顶面上的圆弧的半径相等，并被称为底面半径或顶面半径。圆柱的母线是由底面上的点延伸到对应顶面上的点而形成的直线段。

3、平行截面：平行于底面的切割面将圆柱切割为同样形状的圆。无论切割面在哪个位置通过圆柱，只要是平行于底面的，切割后的截面都将是圆形并且与底面圆的半径相等。

分析如下：

1、拿4张A4纸。

2、拿出一张A4纸,将两短边重合,粘结在一起,围成一个圆筒,作为圆柱的侧面；将圆筒竖立粘在另一张A4纸上,将圆筒底面以外的剪掉,作为圆柱底面,同理做出圆柱上面.一个圆柱体就做好了。

3、拿出1张A4纸,取一长边中点,连接另一长边两个端点,组成一个三角形,将三角形以外的部分剪掉,将三角形底边两端点重合,粘结起来,作为圆锥的侧面.再拿1张A4纸平放,然后将圆锥侧面竖立粘在A4纸上,将圆锥底面以外部分剪掉.一个圆锥体就做好了。

4、因为圆柱与圆锥都是以A4纸长边作为底面周长,以A4纸短边作为高,所以他们是等底等高。

定理口诀

点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。

立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。

异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。

百度百科-立体几何



怎样制作圆锥和圆柱手工制作

手工制作制作圆锥和圆柱工具原料需要彩纸、剪刀、胶棒、笔、尺子、圆规，手工制作圆锥具体步骤：

1、准备正方形彩纸一张，上下对折，出现十字折痕；

2、折叠好，成个小正方形，用圆规画上一个扇形；

3、沿线用剪刀剪开；

4、展开，就是一个近似圆；

5、用剪刀剪下圆的四分之一，在左面区域内抹上胶棒；

6、右面与左面粘牢，手工制作圆锥即可完成。

手工制作圆柱具体步骤：

1、用圆规在彩纸画两个圆；

2、用尺量圆的直径；

3、用尺在纸上量，画一道，再延长一厘米的地方，是粘合时需要多出的部分；

4、把多出的这一厘米，从上到下折出痕迹来；

5、用剪刀把刚才画好的两个圆形剪下，把用于圆柱侧面的那张纸的竖向留出的那一厘米的边，抹上胶水；

6、把圆放到围好的圆柱上，和剪开的那无数个小齿粘合，边缘对齐，粘好一面；

7、把另一个圆形的边缘也抹上胶水，和底部的齿状边粘合好，手工制作圆柱完成。

圆柱体和圆锥体有什么区别？

相同点：

1、圆柱体和圆锥体都有一个曲面。

2、圆柱体和圆锥体都有一个底面。

3、都是由一个平面图形，沿着不和这个平面平行的一条直线拉伸后得到的图形。

不同点：

1、展开图

圆柱侧面展开图是长方形（或正方形）正截面也是长方形（或正方形），且上下底面相等。圆锥侧面展开图是扇形，正截面也是三角形，圆柱体的上底面缩成一点就变成圆锥了。

2、底面

圆柱体上面也是一个底面,而圆锥体上面是一个顶点。

3、顶点

圆锥有顶点，圆柱没有顶点。

4、高

圆柱体有无数条高,而圆锥体只有一条高。

参考资料：

百度百科-圆柱体

参考资料：

百度百科-圆锥体

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