八年级数学下册《勾股定理》知识点(初二数学下册课本内容)

八年级数学下册《勾股定理》知识点

网上有关“八年级数学下册《勾股定理》知识点”话题很是火热，小编也是针对初二数学下册课本内容寻找了一些与之相关的一些信息进行分析，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您。

八年级数学下册《勾股定理》知识点 篇1

　1.勾股定理的内容：

　如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

　注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。

　勾股定理又叫毕达哥拉斯定理

　2.勾股定理的逆定理：

　如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

　3.勾股数：

　满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

　4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用

　例题精讲：

　练习：

　例1：若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为

　解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12

　(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为

　解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24

　例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.

　解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5

　第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7

　《点评》此题是一道易错题目，同学们应该认真审题!

　例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )

　A.斜边长为25

　B.三角形周长为25

　C.斜边长为5

　D.三角形面积为20

　解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C

八年级数学下册《勾股定理》知识点 篇2

　勾股定理

　在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。[1]如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a+b=c.

　简介

　勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”(相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题)，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。(毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”)。

　他们发现勾股定理的时间都比中国晚(中国是最早发现这一几何宝藏的国家)。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。

　勾股定理是一个基本的几何定理，是数形结合的纽带之一。

　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。

　勾股定理内容

　直角三角形(等腰直角三角形也算在内)两直角边(即“勾”“股”短的为勾，长的为股)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。

　也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a+b=c。

　勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

　中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。

　推广

　1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

　2.勾股定理是余弦定理的特殊情况。

八年级数学下册《勾股定理》知识点 篇3

　勾股定理

　内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;

　表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.

　勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。

　勾股定理的证明

　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

　用拼图的方法验证勾股定理的思路是

　①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

　②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

　勾股定理的适用范围

　勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

　勾股定理的逆定理

　如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.

　①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;若，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形;若，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形;

　②定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的'三角形是直角三角形，但是b为斜边.

　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

　质数和合数应用

　1、质数与密码学：所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中(实为寻找素数的过程)，将会因为找质数的过程(分解质因数)过久，使即使取得信息也会无意义。

　2、质数与变速箱：在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

　数学的方法技巧整理

　预习的方法

　上课之前一定要抽时间进行预习，有时预习比做作业更重要，因为通过预习我们可以初步掌握课程的大致内容，听课就能够把握好重点，针对性比较强，还会带着问题去听课，听课效率就会比较高，上课听明白了，完成作业也会更好更快，最终会形成良性循环。

　听懂课的习惯

　注意听教师每节课强调的学习重点，注意听对定理、公式、法则的引入与推导的方法和过程，注意听对例题关键部分的提示和处理方法，注意听对疑难问题的解释及一节课最后的小结，这样，抓住重、难点，沿着知识的发生发展的过程来听课，不仅能提高听课效率，而且能由“听会”转变为“会听”。

　不断练习

　不断练习是指多做数学练习题。希望学好数学，多做练习是必不可少的。做练习的原因有以下三点：第一，熟练和巩固学到的数学知识;二，引导同学灵活运用所学知识点以及独立思考独立做题的水平;第三，融会贯通。通过做题将所学的所有知识点结合起来，加深同学对数学体系化的理解。

　及时小结，温故知新

　一要进行复习小结，及时再现当天或本单元所学的知识;二要积累资料进行整理。可将平时作业、小测验中技巧性强的、易错的题目及时收集成册——错题本，便于复习时参考。

八年级数学下册《勾股定理》知识点 篇4

　一、勾股定理

　勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

　我国古代把直角三角形中，较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。结论为：“勾三股四弦五”。

　a2+b2=c2

　2221、如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

　2222、满足a+b=c的3个正整数a、b、c称为勾股数。(例如，3、4、5是一组勾股

　数)。利用勾股数可以构造直角三角形。

　二、平方根

　1、定义——一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根。也就是说，如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。

　2、一个正数有2个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。

　3、求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

　4、正数a有两个平方根，其中正的平方根，也叫做a的算术平方根。

　例如：4的平方根是±2，其中2叫做4的算术平方根，记作=2;2的平方根是±其中2的算术平方根。

　0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即

　三、立方根

　1、定义——一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称为三次方根。也就是说，如果x=a，那么x就叫做a的立方根，数a的立方根记作“，读作“三次根号a”。

　2、求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。

　3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

　四、实数

　1、无限不循环小数称为无理数。

　2、有理数和无理数统称为实数。

　3、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的。

　五、近似数与有效数字

　1、例如，本册数学课本约有100千字，这里100是一个近似似数。

　2、对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。

初二数学下册课本内容

学习从来无捷径，循序渐进登高峰。如果说学习一定有捷径，那只能是勤奋，因为努力永远不会骗人。学习需要勤奋，做任何事情都需要勤奋。下面是我给大家整理的一些 八年级 数学的知识点，希望对大家有所帮助。

初二数学知识点

抽样调查

(1)调查样本是按随机的原则抽取的，在总体中每一个单位被抽取的机会是均等的，因此，能够保证被抽中的单位在总体中的均匀分布，不致出现倾向性误差，代表性强。

(2)是以抽取的全部样本单位作为一个“代表团”，用整个“代表团”来代表总体。而不是用随意挑选的个别单位代表总体。

(3)所抽选的调查样本数量，是根据调查误差的要求，经过科学的计算确定的，在调查样本的数量上有可靠的保证。

(4)抽样调查的误差，是在调查前就可以根据调查样本数量和总体中各单位之间的差异程度进行计算，并控制在允许范围以内，调查结果的准确程度较高。

课后练习

1.抽样成数是一个(A)

A.结构相对数B.比例相对数C.比较相对数D.强度相对数

2.成数和成数方差的关系是(C)

A.成数越接近于0,成数方差越大B.成数越接近于1,成数方差越大

C.成数越接近于0.5,成数方差越大D.成数越接近于0.25,成数方差越大

3.整群抽样是对被抽中的群作全面调查,所以整群抽样是(B)

A.全面调查B.非全面调查C.一次性调查D.经常性调查

4.对400名大学生抽取19%进行不重复抽样调查,其中优等生比重为20%,概率保证程度为95.45%,则优等生比重的极限抽样误差为(A)

A.40%B.4.13%C.9.18%D.8.26%

5.根据5%抽样资料表明,甲产品合格率为60%,乙产品合格率为80%,在抽样产品数相等的条件下,合格率的抽样误差是(B)

A.甲产品大B.乙产品大C.相等D.无法判断

初二数学知识点归纳

四边形性质探索

定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

平行四边形：两组对边分别平行的四边形.。对边相等，对角相等，对角线互相平分。两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

菱形：一组邻边相等的平行四边形?(平行四边形的性质)。四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形。

矩形：有一个内角是直角的平行四边形?(平行四边形的性质)。对角线相等，四个角都是直角。有一个内角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形。

正方形：一组邻边相等的矩形。正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。一组邻边相等的矩形是正方形，一个内角是直角的菱形是正方形。

梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。等腰梯形：两条腰相等的梯形。同一底上的两个内角相等，对角线相等。两腰相等的梯形是等腰梯形，同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形。

直角梯形：一条腰和底垂直的梯形。一条腰和底垂直的梯形是直角梯形。

多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。n边形的内角和等于(n-2)×180

多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。多边形的外角和都等于360°。三角形、四边形和六边形都可以密铺。

定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

初二 数学 学习 方法 技巧

学好初中数学课前要预习

初中生想要学好数学，那么就要利用课前的时间将课上老师要讲的内容预习一下。初中数学课前的预习是要明白老师在课上大致所讲的内容，这样有利于和方便初中生整理知识结构。

初中生 课前预习 数学还能够知道自己有哪些不明白的知识点，这样在课上就会集中注意力去听，不会出现溜号和走神的情况。同时课前预习还可以将知识点形成体系，可以帮助初中生建立完整的知识结构。

学习初中数学课上是关键

初中生想要学好学生，在课上就是一个字：跟。上初中数学课时跟住老师，老师讲到哪里一定要跟上，仔细看老师的板书，随时知道老师讲的是哪里，涉及到的知识点是什么。有的初中生喜欢记笔记，在这里提醒大家，初中数学课上的时候尽量不要记笔记。

你的主要目的是跟着老师，而不是一味的记笔记，即使有不会的地方也要快速简短的记下来，可以在课后完善。跟上老师的思维是最重要的，这就意味着你明白了老师的分析和解题过程。

课后可以适当做一些初中数学基础题

在每学完一课后，初中生可以在课后做一些初中数学的基础题型，在做这样的题时，建议大家是，不要出现错误的情况，做完题后要学会思考和整理。当你的初中数学基础题没问题的时候，就可以做一些有点难度的提升题了，如果做不出来可以根据解析看题。

但是记住千万不要大量的做这类题，初中生偶尔做一次有难度的题还是对数学的学习有帮助的，但是如果将重点放在这上面，没有什么好处。同时要学会整理，将自己错题归纳并 总结 ，

数学是由简单明了的事项一步一步地发展而来，所以，只要学习数学的人老老实实地、一步一步地去理解，并同时记住其要点，以备以后之需用，就一定能理解其全部内容.就是说，若理解了第一步，就必然能理解第二步，理解了第一步、第二步，就必然能理解第三步.这好比梯子的阶级，在登梯子时，一级一级地往上登，无论多小的人，只要他的腿长足以跨过一级阶梯，就一定能从第一级登上第二级，从第二级登上第三级、第四级，…….这时，只不过是反复地做同一件事，故不管谁都应该会做.

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初二数学下册知识点

初二数学下册的主要内容有二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数等等，接下来看一下具体内容。

二次根式

(一)一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根;当a小于0时，√a的值为纯虚数。

(二)二次根式的加减法

1.同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2.合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3.二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

(三)二次根式的乘除法

二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式。

平行四边形

(一)平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。

(二)平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法);

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形(两组对边平行判定);

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(三)特殊的平行四边形

1.矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

3.正方形：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

一次函数

(一)一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。

(二)一次函数的图像及性质

1.在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

2.一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)。

3.正比例函数的图像总是过原点。

4.k，b与函数图像所在象限的关系：

当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小。

当k>0，b>0时，直线通过一、二、三象限;

当k>0，b<0时，直线通过一、三、四象限;

当k<0，b>0时，直线通过一、二、四象限;

当k<0，b<0时，直线通过二、三、四象限;

当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

初二数学下册典型题

人教版初二数学下册知识点

　数学在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。以下是我整理的人教版初二数学下册知识点，希望大家认真阅读!

　第一章 分式

　1 分式及其基本性质

　分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变

　2 分式的运算

　(1)分式的乘除

　乘法法则：分式乘以分式，用分子的.积作为积的分子，分母的积作为积的分母

　除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

　(2) 分式的加减

　加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;

　异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减

　3 整数指数幂的加减乘除法

　4 分式方程及其解法

　第二章 反比例函数

　1 反比例函数的表达式、图像、性质

　图像：双曲线

　表达式：y=k/x(k不为0)

　性质：两支的增减性相同;

　2 反比例函数在实际问题中的应用

　第三章 勾股定理

　1 勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方

　2 勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

　第四章 四边形

　1 平行四边形

　性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。

　判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

　两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

　对角线互相平分的四边形是平行四边形;

　一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。

;

类型一：勾股定理的直接用法

　1、在Rt△ABC中，∠C=90°

　(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a.

　思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

　解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=

　(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

　(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

　举一反三

　变式:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

　答案∵∠ACD=90°

　AD=13, CD=12

　∴AC2 =AD2-CD2

　=132-122

　=25

　∴AC=5

　又∵∠ABC=90°且BC=3

　∴由勾股定理可得

　AB2=AC2-BC2

　=52-32

　=16

　∴AB= 4

　∴AB的长是4.

　类型二：勾股定理的构造应用

　2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC的长.

　思路点拨：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于D，则有

　， ，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.

　解析：作 于D，则因 ，

　∴ ( 的两个锐角互余)

　∴ (在 中，如果一个锐角等于 ，

　那么它所对的直角边等于斜边的一半).

　根据勾股定理，在 中，

　.

　根据勾股定理，在 中，

　.

　∴ .

　举一反三变式1如图，已知： ， ， 于P. 求证： .

　解析：连结BM，根据勾股定理，在 中，

　.

　而在 中，则根据勾股定理有

　.

　∴

　又∵ (已知)，

　∴ .

　在 中，根据勾股定理有

　，

　∴ .

　变式2已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

　分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

　解析：延长AD、BC交于E。

　∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

　∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

　∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。

　∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= = 。

　∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB?BE- CD?DE=

　类型三：勾股定理的实际应用

　(一)用勾股定理求两点之间的距离问题

　3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

　(1)求A、C两点之间的距离。

　(2)确定目的地C在营地A的什么方向。

　解析：(1)过B点作BE//AD

　∴∠DAB=∠ABE=60°

　∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

　∴∠CBA=90°

　即△ABC为直角三角形

　由已知可得：BC=500m，AB=

　由勾股定理可得：

　所以

　(2)在Rt△ABC中，

　∵BC=500m，AC=1000m

　∴∠CAB=30°

　∵∠DAB=60°

　∴∠DAC=30°

　即点C在点A的北偏东30°的方向

　举一反三

　变式一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

　答案由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB， 与地面交于H.

　解：OC=1米 (大门宽度一半)，

　OD=0.8米 (卡车宽度一半)

　在Rt△OCD中，由勾股定理得：

　CD= = =0.6米，

　CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).

　因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.

　(二)用勾股定理求最短问题

　4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.

　思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.

　解析：设正方形的边长为1，则图(1)、图(2)中的总线路长分别为

　AB+BC+CD=3，AB+BC+CD=3

　图(3)中，在Rt△ABC中

　同理

　∴图(3)中的路线长为

　图(4)中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH=CH

　由∠FBH= 及勾股定理得：

　EA=ED=FB=FC=

　∴EF=1-2FH=1-

　∴此图中总线路的长为4EA+EF=

　3>2.828>2.732

　∴图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线.

　举一反三

　变式如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.

　解：

　如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm， 根据勾股定理得

　(提问：勾股定理)

　∴ AC= = = ≈10.77(cm)(勾股定理).

　答：最短路程约为10.77cm.

　类型四：利用勾股定理作长为 的线段

　5、作长为 、 、 的线段。

　思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和1的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。

　作法：如图所示

　(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB，使AB为斜边;

　(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 。斜边为 ;

　(3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是

　、 、 、 。

　举一反三 变式在数轴上表示 的点。

　解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ，

　为了有利于画图让其他两边的长为整数，

　而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

　作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，

　以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 。

　类型五：逆命题与勾股定理逆定理

　6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

　1.原命题：猫有四只脚.(正确)

　2.原命题：对顶角相等(正确)

　3.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.(正确)

　4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.(正确)

　思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。

　解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫(不正确)

　2. 逆命题：相等的角是对顶角(不正确)

　3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(正确)

　4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)

　总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

　7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

　思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。

　解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：

　a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

　∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

　∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。

　∴ a=3，b=4，c=5。

　∵ 32+42=52,

　∴ a2+b2=c2。

　由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

　总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

　举一反三变式1四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

　答案：连结AC

　∵∠B=90°，AB=3，BC=4

　∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

　∴AC=5

　∵AC2+CD2=169，AD2=169

　∴AC2+CD2=AD2

　∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

　变式2已知:△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.

　分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可

　证明：

　所以△ABC是直角三角形.

　变式3如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF= AB。

　请问FE与DE是否垂直?请说明。

　答案答：DE⊥EF。

　证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,

　∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;

　DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

　连接DF(如图)

　DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

　∴ DF2=EF2+DE2,

　∴ FE⊥DE。

　经典例题精析

　类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

　1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

　思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

　解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

　(3x)2+(4x)2=202

　化简得x2=16;

　∴直角三角形的面积= ×3x×4x=6x2=96

　总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。

　举一反三 变式1等边三角形的边长为2，求它的面积。

　答案如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D

　则：BD= BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)

　∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)

　∴BD=1

　在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-1=3

　∴AD=

　S△ABC= BC?AD=

　注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 a。

　变式2直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

　答案设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：

　由(1)得：x+y=7，

　(x+y)2=49，x2+2xy+y2=49 (3)

　(3)-(2)，得：xy=12

　∴直角三角形的面积是 xy= ×12=6(cm2)

　变式3若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

　思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

　解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：

　(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2

　化简得：n2=4

　∴n=±2，但当n=-2时，n+1=-1<0，∴n=2

　总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

　变式4以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )

　A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40

　解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

　对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。

　例如：对于选择D，

　∵82≠(40+39)×(40-39)，

　∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

　同理可以判断其它选项。 答案：A

　变式5四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

　解：连结AC

　∵∠B=90°，AB=3，BC=4

　∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

　∴AC=5

　∵AC2+CD2=169，AD2=169

　∴AC2+CD2=AD2

　∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

　∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB?BC+ AC?CD=36

　类型二：勾股定理的应用

　2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响?请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒?

　思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

　解析：作AB⊥MN，垂足为B。

　在 RtΔABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°， AP=160，

　∴ AB= AP=80。 (在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)

　∵点 A到直线MN的距离小于100m,

　∴这所中学会受到噪声的影响。

　如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m)，

　由勾股定理得： BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。

　同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m)，BD=60(m),

　∴CD=120(m)。

　拖拉机行驶的速度为 : 18km/h=5m/s

　t=120m÷5m/s=24s。

　答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

　总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

　举一反三 变式1如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草。

　解析：他们原来走的路为3+4=7(m)

　设走“捷径”的路长为xm，则

　故少走的路长为7-5=2(m)

　又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。答案4

　变式2如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

　(1)直接写出单位正三角形的高与面积。

　(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?

　(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。

　答案(1)单位正三角形的高为 ，面积是 。

　(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 。

　(3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示)，则在Rt△ACK中， ，

　，故

　类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法

　我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.

　3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长。

　思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.

　解：连接AD.

　因为∠BAC=90°，AB=AC. 又因为AD为△ABC的中线，

　所以AD=DC=DB.AD⊥BC.

　且∠BAD=∠C=45°.

　因为∠EDA+∠ADF=90°. 又因为∠CDF+∠ADF=90°.

　所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).

　所以AE=FC=5.

　同理：AF=BE=12.

　在Rt△AEF中，根据勾股定理得：

　，所以EF=13。

　总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

　(二)方程的思想方法

　4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， ，求 、 、 的值。

　思路点拨：由 ，再找出 、 的关系即可求出 和 的值。

　解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，

　则 ，由勾股定理，得 。

　因为 ，所以 ，

　， ， 。

　总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

　举一反三：变式如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

　解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。

　因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，

　在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，

　所以 。 所以 。

　设 ，则 。

　在Rt△ECF中， ，即 ，解得 。

　即EF的长为5cm。



初二数学，有关勾股定理，要过程

那些（例：AP2=AP）稍微改一下

如图，在△ABC中，AB=AC

（1）P为BC上的中点，求证：AB2-AP2=PB•PC；

（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；

（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．

分析：（1）先连接AP，由于AB=AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB2=BP2+AP2，即AB2-AP2=BP2，而BP=CP，易得BP•CP=BP2，那么此题得证；

（2）成立．连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，在等腰三角形ABC中利用三线合一定理，可知BD=CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB2=AD2+BD2，同理有AP2=AD2+DP2，易求AB2-AP2的差，而BP=BD+DP，CP=CD-CP=BD-DP，易求BP•CP，从而可证AB2-AP2=BP•CP；

（3）AP2-AB2=BP•CP．连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，在△ABC中，利用等腰三角形三线合一定理可知

BC=CD，在Rt△ABC中和Rt△ADP中，利用勾股定理分别表示AP2、AB2，而BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，

易求BP•CP的值，从而可证AP2-AB2=BP•CP．

证明：（1）如 图所示，连接AP，

∵AB=AC，P是BC中点，

∴AP⊥BC，BP=CP，

在Rt△ABP中，AB2=BP2+AP2，

∴AB2-AP2=BP2，

又∵BP=CP，

∴BP•CP=BP2，

∴AB2-AP2=BP•CP；

（2）成立．

如 图所示，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，

同理，AP2=AD2+DP2，

∴AB2-AP2=AD2+BD2-（AD2+DP2）=BD2-DP2，

又∵BP=BD+DP，CP=CD-DP=BD-DP，

∴BP•CP=（BD+DP）（BD-DP）=BD2-DP2，

∴AB2-AP2=BP•CP；

（3）AP2-AB2=BP•CP．

如 图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，

在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，

∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2，

又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，

∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2，

∴AP2-AB2=BP•CP．

初二下册数学勾股定理

已知AB=AC，∠C=30°

则，∠B=30°

所以，∠BAC=180°-30°-30°=120°

已知BA⊥DA，则∠BAD=90°

所以，∠DAC=120°-90°=30°

所以，AD=CD

设，AD=CD=x

在Rt△ABD中，∠B=30°

那么，BD=2AD=2x

所以，BC=BD+CD=2x+x=3x

已知BC=6

所以，3x=6

则，x=2

所以，AD=2，BD=4

那么，由勾股定理得到：AB=BD-AD=16-4=12

所以，AB=√12=2√3

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